２．　演算子法の超並列処理システム
２.１　ベクトルの加減算の超並列処理
. . ベクトルの加減算は要素毎の加減算であるから各要素を個別のプロセッサに割当てれば並列処理ができる。各プロセッサに対応するベクトル要素を同時に与えるにはデータのビット数×プロセッサ数のデータバスを必要とする。従って、ハード及びソフト上の制約からプロセッサ数は余り多くできない。これを解決するにはデータのビット幅の共有データバス上に全てのプロセッサを並べ、ベクトル要素の値はy₀，Δy₀，Δ²y₀，……の順に逐次的に与える。このデータを受取る権利は、最初は先頭のプロセッサにあり、y₀を受取ると権利を２番目のプロセッサに渡す。２番目のプロセッサはΔy₀を受取ると権利を３番目のプロセッサに渡す。この様にして全ての要素が受取られ、要素の終了記号を受けると最後のプロセッサは権利を失い、最初のプロセッサが権利を得る。同様にして、演算すべき２要素を受取ったプロセッサは演算を開始する。データ転送はメモリ読出し速度で可能であるから、その遅れは浮動小数点演算の時間に比べれば短く、最後のプロセッサがその担当の要素の計算を終えるまでの時間内に全ての要素の計算が終了し、実質的に並列演算となる。加減算ではベクトル要素をx₀とy₀，Δx₀とΔy₀のように組にして与えてもよい。
. . プロセッサの結合を入出力ポートに変更すれば、データバスは局所ROM/RAM専用にできる。入出力ポートはポート番号０と１の２個を用意し、各プロセッサの入出力ポート0を前のプロセッサの入出力ポート1に接続する。これにより各プロセッサはクロック同期動作の必要がなく、データを受取る権利の受渡しも必要なくなる。各プロセッサは入出力ポート0を監視し、あるいは割込みにより最初のデータを取込み、その後はポート0のデータをポート1に転送する。ベクトル要素の終了記号を受けたプロセッサは次のベクトルの要素の受取り動作に入り、データが揃えば演算を開始する。この間、後続のプロセッサのためのデータ転送も並行して行う。これらの動作は各プロセッサの局所ROMにプログラムされ、全て同じプログラムである。
. . これが本書の超並列処理のハード及びファームウェアの基本構想であり、一般的には以下のように構成される。

1.	全てのプロセッサは同じハードウェア及びソフトウェア又はファームウェアを持つ。
2.	各プロセッサのハードウェアは制御ユニット，ALU, ROM, RAM, 数個の入出力ポートより成る。
3.	各プロセッサは入出力ポート０を前のプロセッサのポート番号０以外の一つの入出力ポートに接続することにより相似的構造に結合され、先頭のプロセッサのみが外部と入出力を行う。
4.	上記主結合の他に２つの入出力ポートを用いて近隣のプロセッサ同士を結合することによりグループを構成することができる。
5.	各プロセッサは一つの内部状態をRAMに記録保持し必要ならスタックに積むことができる。
6.	各プロセッサは入出力ポート０からのデータを内部状態と比較し、内部状態として保持するか、何番の入出力ポートに出力するかを判断する。内部状態として保持する場合は元の内部状態をスタックに積むか何番のポートに出力するかを判断しそれらの結果を実行する。
7.	各プロセッサは入出力ポート０からのデータ要求に対し内部状態を出力するか、他の入出力ポートにデータを要求し内部状態に基づく演算を実行して出力する。

. . 各プロセッサのROMに格納されるソフトウェアは上記の５，６，７項に記された作業を行うための動作をプログラムしたものであり、従来のプログラミングにおける与えられた問題を解くアルゴリズムではない。アルゴリズムに含まれる基本的な作業である。BASICでは、配列変数x, yに格納されたベクトルの加算を次のように記述する。但し、Δ^k−1x₀, Δ^k−1y₀は数値を表す。

_______(2.1)

. .［ベクトルの加算の動作規則］
1.	ポート０の入力が“(”ならそれを内部状態とする。
2.	ポート０の入力が数値の場合、内部状態が“(”ならそれをスタックに積み、コピーをポート１に出力して入力を内部状態とする。内部状態が“,”ならそれをスタックに積んで入力を内部状態とする。
3.	内部状態が数値ならポート０の入力を全てポート１に出力する。
4.	ポート０の入力が“,”又は“)”の場合、内部状態が“(”ならそれをポート１に出力し、入力を内部状態とする。
5.	内部状態が“)”なら“(”以外のポート０の入力を全て無視する。
6.	ポート０の入力が“+”ならポート１に出力し、内部状態をALUのアキュムレータにロードしてスタックされた内部状態をポップする。
7.	再び、１から５迄の動作規則により、２個目のベクトル要素を得たプロセッサはポート１への他のデータ転送と平行して加算動作に入る。
8.	加算を終えたプロセッサは結果を内部状態にセットする。
9.	ポート０に結果の出力要求を受けたとき、内部状態が“)”でないなら要求をポート１に出力し、スタックされた内部状態、計算結果の内部状態、ポート１の入力の順にポート０に出力する。内部状態が“)”ならそれをポート０に出力する。
10.	“)”をポート０に転送すれば動作を終了する。

. . データ(2.1)が左から順に先頭のプロセッサに入力されると、先頭のプロセッサは動作規則１により“(”を内部状態にセットする。x₀の入力で動作規則２により“(”をスタックに積みコピーをポート１に送りx₀を内部状態にセットする。以後、動作規則３を実行する。２番目のプロセッサは“(”“,”Δx₀を受けて動作規則1, 4, 2, 3の順に動作し、“,”をスタックに積みΔx₀を内部状態にセットする。同様にして10番目のプロセッサは“(”“,”Δ⁹x₀を受けて“,”をスタックに積みΔ⁹x₀を内部状態にセットする。11番目のプロセッサは“(”“)”を受けて動作規則４により“)”を内部状態にセットし動作規則５を実行する。それよりも10ステップ前に先頭のプロセッサは“)”の転送を完了しており、“+”の入力により動作規則6, 7, 8を実行し、第一要素の加算結果z₀=x₀+y₀を内部状態にセットする。ベクトルYの要素終了記号“)”をポート１に転送後再度“+”が入力されれば再度動作規則6, 7, 8を実行するが、結果の出力要求の場合は動作規則9により、スタックの“(”と内部状態z₀をポート０に出力し、２番目のプロセッサからホート１に送られてくる“,”とΔz₀を転送する。同様にして“,”とΔ⁹z₀を転送した後11番目のプロセッサが出力した“)”を転送して終了する。
. . データ(2.1)の“+”を“−”に変えればベクトルの減算が実行される。プロセッサの機能は全て同じでプロセッサにはアドレスがないから、どれかのプロセッサが故障した場合には別のプロセッサと交換するか単にそれをバイパスするだけで故障は修復される。これは脳と同様な故障修復である。最後部にプロセッサを追加すれば扱えるベクトルの次元が増え、関数の近似次数を上げたことになるから計算精度が向上する。これは脳の思考能力の向上に相当する。本システムはデータの入力が無いときは相似構造であるが、データの入力により各プロセッサの実行している箇条と内部状態が異なり非相似構造となる。これは脳も死に至ればただの蛋白質であるのと類似である。
. . この超並列演算システムを使用する応用プログラムはベクトルの加算をX+Yまたはベクトルをx, yで表してx+yと記述すればよい。従って、ハードが超並列処理になっても並列化コンパイラというようなものを必要としない。この数式は後に述べる超並列解析により２分木を構成するプロセッサの内部状態としてFig. 2.1のように表される。各プロセッサは内部状態に基づく処理を実行する際、内部状態がX, Yのプロセッサはベクトルの値を得て内部状態が“+”のプロセッサに与え、内部状態が“+”のプロセッサはそれらを加算する。このとき、２分木を構成している入出力ポート以外のポートに接続された上記の超並列演算システムにデータ(2.1)を与える。複雑な数式の場合、その２分木は四則演算子を内部状態とする多くのプロセッサを必要とし、それらは上記の超並列演算システムを個別に持たなければならない。上記の超並列演算システムの並列処理度は余り高度ではないので、BASICで示したようなプログラムを各プロセッサのROMに持つことでハードの負担を軽くすることができる。しかし、後に述べる知識情報処理の超並列処理の重要なヒントを与えるので本節ではハードウェアでの構成について詳細に述べる。

_____(2.2)

______(2.3)

２.３　ベクトルの積の超並列処理
. . ベクトルの積W=XYは第３章1.4節の定理1.1に基づいてベクトルXを行列展開して(2.4)式で行う。

______(2.5)

. .［ベクトルの行列展開にベクトルを掛ける動作規則］
1.	ポート０の入力が"("又は","のとき、内部状態が数値なら内部状態をALUのアキュムレータにロードして入力を内部状態にセットする。内部状態が")"なら入力を無視する。
2.	ポート０の入力が数値のとき、内部状態が"("又は","ならポート１に出力し入力を内部状態にセットしコピーをポート１に出力しアキュムレータに内部状態を掛ける演算を開始する。内部状態が")"なら入力を無視する。
3.	積の演算を開始したプロセッサは以後")"迄の全てのポート０の入力をポート３に転送する。積を完了したときは結果を内部状態にセットしコピーをポート２に出力する。但し、ポート２を使用していないプロセッサ(Pj1)はポート２への出力はしない。
4.	内部状態が"×"ならポート２の入力を全てポート１に転送する。入力が")"のときは更にそのコピーをポート２に出力し内部状態をクリアする。
5.	積の結果のコピーをポート２に出力したプロセッサはポート３の入力が数値なら内部状態に加算し結果の内部状態のコピーをポート２に出力する。ポート３の入力が")"ならポート２に転送し内部状態をクリアする。
6.	Pj1はポート３の入力が数値なら内部状態に加算しポート３の入力が")"ならベクトルの積の演算を完了する。

. . 動作規則３で演算を開始したプロセッサの内部状態は数値であるが、このときの入出力処理は動作規則１及び２とは異なるのでその区別のために動作状態というフラグを必要とする。このフラグは入出力のReadyフラグや割込み信号と同様にデータを表すものではないので特に必要が無い限り言及しない。入力が数値のときと記述すればReadyのときであることは明白であるように、積の演算を開始したプロセッサは以後・・・・と記述すれば動作状態フラグのセットは明白だからである。
. . 動作規則６でベクトルの積を完了した後、結果の出力要求に対してベクトルの加算の動作規則9, 10により結果を出力する。出力要求は"="を使用し、データ(2.5)の最後にこれを付ければ良い。ベクトルの加算や関数のベクトル変換の場合も同様である。

２.４　ベクトルの商の超並列処理
. . ベクトルの商W=Y/XはベクトルXの行列展開の逆行列X⁻¹が存在する場合はベクトルの積W=X⁻¹Yで計算できるが、逆行列の計算を避けるためにXの行列展開Xを両辺に掛ければ商Wは連立一次方程式XW=Yの解として計算できる。第３章１.６節の定理１.６によりこの連立一次方程式は(2.6)式に変形して(2.7)式のように解くことができる。行列Xの対角要素のどれかが零のときはベクトルXの要素計算における区分点の取り方が適当でないか、ベクトルの定義域が適当でない。この対角要素による除算が必要なベクトルの商の要素は与えられていなければならない。そうでない場合はベクトルの商は確定しない。第４章3.2節のプログラムではこの場合常に零を与えているのでベクトルの商は一般的には正しくない。しかし、可変区分幅解法ではこのとき解は収束せず、区分幅が変わって行列Xの対角要素が零にならない範囲の正しい解に収束する。行列Xの対角要素に零がある場合はそれによる除算を実行しない方法でもよい。従って、ベクトルの商の超並列処理では行列Xの対角要素は零でないものとする。

____(2.6)

____(2.8)

２.５　ベクトルの微積分の超並列処理
. . 積分演算は(2.9)の(a)で表されるが、y' (t)は被積分関数、dtは積分変数であり、これらの前に積分演算子が置かれており同式はポーランド記法である。ポーランド記法はコンピュータで処理しやすい数式の表記法として使われるが、通常の数式の中に使われた場合は演算された結果を表す。これは、積分表記が変数や数値と四則演算子で結合された数式を考えれば明らかである。本超並列処理システムでは、積分演算子をS、積分変数dtを区分幅hで表して積分演算をSY' hと表記する。これを２項演算式で表せばY' ShとなるのでFig. 2.1と同様の２分木が構成される。演算子"S"を内部状態とするプロセッサはベクトルY' の値とhを受取り(2.10)のデータを超並列演算システムに送って積分する。

_____(2.12)

. .［ベクトルを微分する動作規則］
1.	ベクトル加算の動作規則1から5を実行し、第１列プロセッサは被微分ベクトルの要素を内部状態にセットし次の演算子"D"の入力により以下の動作規則を実行する。但し、スタックのトップが"("であるP11はポート０への出力はしない。
2.	ポート０の入力が演算子"D"のとき、内部状態が")"ならそれをポート０に出力して終了し、内部状態が数値なら"D"をポート１と３に転送した後、内部状態をポート０に出力する(内部状態はクリアされる)。
3.	ポート１の入力が")"のとき、内部状態が空なら入力を内部状態にセットしてコピーをポート０に出力し、スタックをクリアし、ポート０の入力(=h)を読み捨てて終了する。内部状態が数値なら入力")"をポート０と３に転送する。
4.	ポート１の入力が数値(=ベクトルの要素)のとき、内部状態が空なら入力を内部状態にセットしてコピーをポート０に出力し、内部状態をスタックに積み、微分行列の要素１を内部状態にセットする。内部状態に微分行列の要素をセットしてから最初の入力なら入力をポート０と３に転送して、内部状態のコピーをポート３に出力し、以後、ポート１の入力をポート０と３に転送する。
5.	ポート２の入力が演算子"D"ならそれを内部状態にセットする。
6.	ポート２の入力が数値のとき、内部状態が"D"ならそれをポート３に出力して入力(=ベクトルの要素)を内部状態にセットする。内部状態がベクトルの要素ならそれをスタックに積んで入力に１を加えて(=微分行列の要素の分母)内部状態にセットする。内部状態が微分行列の要素の分母なら入力(=ベクトルの要素)をポート３に転送し続いて内部状態のコピーをポート３に出力し、その後はポート２の入力をポート３に転送する。
7.	ポート２の入力が")"のとき、内部状態が"D"なら入力")"を内部状態にセットしポート２に出力して終了し、内部状態が数値なら入力")"をポート３に転送する。
8.	微分行列の要素の分母を内部状態にセットしたプロセッサは上記データ転送と平行してスタックの数値を内部状態で除算し、内部状態が偶数なら負符号を付加する計算を開始する。
9.	計算を終えた後、ポート２を接続しているプロセッサは結果をポート２に出力し、以後、ポート３の入力をポート２に転送し、")"をポート２に転送したら終了する。ポート２を接続していない第１列プロセッサは計算結果を内部状態にセットし、ポート３のデータを内部状態に加算し、ポート３の入力が")"なら加算を終了し、ポート０の入力(=h)をポート１に転送すると共に内部状態を除算して終了する。

. . 積分演算は(2.13)で表され、２次元配列プロセッサにより超並列演算ができる。微分演算との違いは被演算ベクトルを差分に変換しないことと行列の要素の違いである。行列の要素は第３章第４節の定理4.8によりFig. 2.8(j)の内部状態から(2.14)により超並列計算できる。ここでは簡単化のために(2.15)に示す第１行の各要素の値を計算したものを全てのプロセッサがROMに格納しておき、内部状態がnのプロセッサはn番目の値を使用する。従って、積分演算の動作規則は微分演算の動作規則の一部を変更するだけで下記のようになる。

. . 積分演算終了後、ポート０の入力が結果の出力要求"="ならベクトルの加算の動作規則9と10により第１列プロセッサは内部状態を出力する。このときの出力は差分ベクトルΔYであり初期値y₀を含んでいない。初期値が与えられているとき、これを含む結果を出力するには第１列プロセッサは内部状態を一つ後ろに移して(2.16)で表されるベクトル加算をしなければならない。ベクトルの加算の動作規則ではこの点に触れていないが、差分の次数の異なるベクトルを加算する場合には内部状態をシフトして両ベクトルの要素の位置合わせを行わねばならない。

______(2.16)

. .［行列に行列を掛ける動作規則］
1.	第１層のプロセッサは［行列を読込む動作規則］１から４により被演算行列を読込み、以下の動作規則へ移行する。
2.	ポート４を接続しているプロセッサは(=第２層以降)ポート４の入力を内部状態にセットし、次のポート４の入力が数値なら内部状態をスタックに積んで数値を内部状態にセットする。ポート４の入力が演算子“×”なら(=各層の第１行１列プロセッサ)以後ポート４の入力をポート０の入力とみなす。これを含めるとき、ポート０(ポート４)の入力と記述する。
3.	ポート０(ポート4)又はポート２の入力が演算記号“×”のとき、内部状態が数値ならスタックに積んで入力を内部状態にセットし、“×”がポート０(ポート4)の入力ならポート１と３に、ポート２の入力ならポート３にコピーを出力する。内部状態が数値でないならスタックに積まず、内部状態が“]”なら“×”を捨て、内部状態が“)”なら“×”をポート３へ転送する。
4.	ポート０(ポート4)又はポート２の入力が行列開始記号“[”のとき、内部状態が“×”ならスタックの“(”と数値、又は“,”と数値のコピーをポート５に出力し、“[”がポート０(ポート4)の入力ならポート１と３に転送し、ポート２の入力ならポート３に転送する。内部状態が“]”又は“)”ならそのコピーをポート５に出力し、内部状態が“)”なら入力“[”をポート３に転送する。
5.	ポート０(ポート4)の入力が“(”のとき、“)”を転送した後なら“×”と“[”をポート５に出力してから以後のポート０(ポート4)の入力をポート５に転送する。“)”を転送していないとき、内部状態が“×”なら入力を内部状態にセットし、“[”を転送していないならスタックの“[”を捨てる。
6.	ポート０(ポート２)(ポート4)の入力が“,”のとき、内部状態が“×”なら入力を読み捨てる。内部状態が数値なら入力をポート３に転送する。
7.	ポート０(ポート２)(ポート4)の入力が数値のとき、内部状態が“(”又は“×”なら入力を内部状態にセットし、コピーをポート１に出力する。内部状態が数値なら入力をポート３に転送する。内部状態が“)”なら入力を読み捨てる。
8.	内部状態に数値をセットしたプロセッサはデータ転送と平行して内部状態にスタックの数値を掛ける計算を開始し、完了したらポート２に結果を出力し、スタックをクリアし、ポート３の入力をポート２に転送する。但し、ポート２を接続していない第１列プロセッサはポート３の入力を全て内部状態に加算し、ポート３の入力が“]”なら加算を終了する。
9.	ポート０(ポート4)又はポート２の入力が“)”のとき、内部状態が数値なら入力をポート３に転送する。内部状態が“]”なら入力をポート１に転送して内部状態をポート２に出力する。内部状態が“)”なら入力を読み捨てる。
10.	ポート０(ポート４)の入力が“]”のとき、“)”を受けたすぐ後なら入力をポート５に転送する。“×”を受けていないなら(=最終層)内部状態およびスタックをクリアし、ポート０(ポート４)の入力はポート１と３に転送し、ポート２の入力はポート３に転送する。但し、内部状態が“)”ならポート１へは転送せず、内部状態が“]”ならポート３へは転送しない。

. . (2.18)の積は(2.19)の行列Yの要素が第１列だけの場合であるから上記の行列と行列の積として処理することができる。その際、(2.18)のように行列Yの行列開始記号と終了記号は使用されないのが普通であるが、その場合にはポート4とポート5を使用する動作規則が実行されないのでデータが第２層に転送されることがなく、第１層のプロセッサで処理され前記の行列にベクトルを掛ける動作規則と同じ結果になる。

２.７ 演算子の商の超並列処理
. . ベクトルの商Y/XはY=AXの関係にある行列Aが商であるが、行列Aがベクトルの行列展開ではないときYとXから計算することはできない。行列Aの全要素を未知数とした連立１次方程式は解けないからである。ベクトルの表す関数y(t)とx(t)の商y(t)/x(t)が関数でなく微積分のような作要素であるとき、これをy(t)とx(t)から求めることはできないのと同じである。第３章で微積分演算子を導いたように、行列Aはy(t)が階差の数式で表されたx(t)の数式積分であることにより求めなければならない。
. . 一方、ベクトルXはベクトルYと行列Aの商であり、X=A⁻¹Yと表せるからAの逆行列を求めれば演算子とベクトルの積の超並列処理で求めることができる。微分演算子と積分演算子はこのAとA⁻¹の関係にあるから逆行列の計算は必要ない。又、一般の演算子Aの場合には、逆行列を求める代わりに、連立一次方程式の数値解法である消去法の計算を超並列処理で行うことができる。行列AとベクトルYの要素を一次元的に表記すればA⁻¹Yは(2.20)で表すことができる。この計算は、逆行列記号“−1”と掛算記号“×”を合わせた物を消去法の演算を表すひとつの記号と考えれば２項演算であり、行列にベクトルを掛ける(2.18)の計算と同様にFig. 2.4の２次元配列プロセッサにより並列計算される。

_____(2.22)

. .［連立1次方程式を読込む動作規則］
1.	行列を読込む動作規則１から４により行列Aを読込み、消去法の演算記号“−1×”の入力により以下の規則へ移行する。
2.	ポート0の入力が“−1×”のとき、内部状態が数値なら入力をポート1と3に転送し、内部状態が“)”なら入力をポート3に転送する。
3.	ポート2の入力が“−1×”のとき、内部状態が数値又は“)”なら入力をポート3に転送し、内部状態が“]”なら読み捨てる。
4.	ポート０の入力がベクトル要素の開始記号“(”又は要素の区切り記号“,”のとき、内部状態が数値なら内部状態をポート３に出力して入力を内部状態にセットする。
5.	ポート０の入力が数値のとき、内部状態が“(”又は“,”ならポート３に出力して入力を内部状態にセットする。セットした後はポート０の入力をポート１に転送する。
6.	ポート０の入力が要素終了記号“)”のとき、内部状態が“)”なら入力をポート３に転送して消去法の動作規則へ移行する。内部状態が数値なら入力をポート１に転送して消去法の動作規則へ移行する。その際、規則５でベクトルの要素開始記号“(”をポート３に出力した第1行０列プロセッサはピボットフラグをポート３に出力する。
7.	ポート２の入力が数値なら内部状態をポート３に出力して入力を内部状態にセットし、ポート２の入力が“(”又は“,”又は“)”ならポート３に転送して消去法の動作規則へ移行する。

. .［消去法の動作規則］
1.	ポート２の入力がピボットフラグなら、ポート２と３にピボット行フラグを出力、ポート０と１にピボット列フラグを出力し、これらのポートに内部状態を出力して内部状態に１をセットし、ポート１にピボットフラグを出力する。
2.	ポート２又は３の入力がピボット行フラグのとき、ポート２の入力ならポート３へ、ポート３の入力ならポート２へ転送し、ポート０と１に内部状態のコピーを出力する。続いて、ポート２又は３に受ける数値入力を同様に転送すると共にそれにより内部状態を除算する。
3.	ポート０又は１の入力がピボット列フラグのとき、ポート０の入力ならポート１へ、ポート１の入力ならポート０へ転送し、続いて内部状態のコピーを出力し、次のポート０又は１の数値入力により内部状態を除算した値をポート２と３に出力し、内部状態に０をセットする。
4.	ピボット列フラグを受けずに、ポート０に数値入力を受けたプロセッサはポート１へ、ポート１に数値入力を受けたプロセッサはポート０へ内部状態のコピーを出力し、内部状態をスタックに積み、入力を内部状態にセットする。次にポート２又は３の数値入力をポート２の入力ならポート３へ、ポート３の入力ならポート２へ転送すると共にその値を内部状態に掛けてスタックの値より減じて内部状態にセットする。
5.	但し、以前ピボット列にあって内部状態に１又は０をセットしたプロセッサは以後、データの転送のみを行う。
6.	ポート０にピボットフラグを受けたとき、内部状態が数値なら入力をポート３に転送する。内部状態が“)”なら計算終了フラグをポート０に返す。
7.	ポート１に計算終了フラグを受けたらポート２にそれを転送し、ポート３に計算終了フラグを受けたらポート０に転送する。但し、第１行０列プロセッサはポート３に計算終了フラグを受けるがポート２を接続していないことによりポート０への転送は行わず、計算結果の出力要求“=”をポート０に受けて結果のベクトルの出力動作を行う。
8.	接続していないポート(第1行のポート０、第0列のポート2) への出力は行わない。

. . 行列Aに対してY=AXの関係にあるベクトルYとXが複数組みあるとき、それらの関係は行列の積Y=AXで表せる。このとき行列Xは行列Yと行列Aの商、即ち、演算子の商である。|A|が零でないとき、行列Xの各列ベクトルは連立１次方程式の解X=A⁻¹Yであるから、行列の商は、上に述べた連立１次方程式を解く超並列システムを層状に重ねた三次元配列プロセッサにより超並列計算することができる。本システムに入力されるデータは(2.23)で表され、行列Aと行列Yの任意の列ベクトルとの演算は上に述べた連立１次方程式の解法と同じであるが、行列Aの要素と行列Yの第２列以降のベクトルを第２層以降に転送することが必要である。この操作は行列の積(2.19)のときと同様に行列Yの開始記号“[”により行うことができる。

. .［追加する動作規則］
♦	ポート４の入力が数値なら内部状態にセットする。
♦	ポート４の入力が演算記号“−1×”なら(=第2層以降の第１行０列プロセッサ)以後のポート４の入力をポート０の入力とみなす。
♦	ポート0(ポート4)又はポート２の入力が行列開始記号“[”なら内部状態のコピーをポート５に出力し、入力がポート０(ポート４)からならポート１と３に転送し、入力がポート２からならポート３に転送する。
♦	ポート０(ポート４)の入力がベクトル要素の開始記号“(”のとき、ベクトルの要素終了記号“)”を転送した後なら“−1×”と“[”をポート５に出力した後、“(”以降のポート０(ポート４)の入力をポート５に転送する。

. . 上に述べた演算子法の超並列処理(ポリプロセッシング)においてベクトルの要素が一つの場合、配列プロセッサは必要なく一つのプロセッサで処理され、その処理は通常の数値計算となる。又、演算子法の超並列処理システムがブラックボックスであり、その中の構造を見ることができず、入力したデータと出力された結果だけからその機能、構造を推定するとき、人間が紙に数式を書いて計算するのと同じ方法で、高性能な一つのコンピュータが高度なプログラムにより計算していると推定するのが最も簡単で容易に思いつく結論である。しかし、実際は超並列プロセッサが簡単な規則に基づく超並列処理(ポリプロセッシング)により計算している。著者が第一節で、目に見える世界と見えない世界では機能、構造は相似ではないと述べた意味である。著者の演算子法や連立１次方程式だけでなくあらゆる情報処理を超並列処理機構(ポリプロセッサ)により超並列処理(ポリプロセッシング)することができる。それらの代表的なものについては次節以降に述べる。
. . 著者は脳における情報処理もポリプロセッシングであると考える。脳細胞も身体の細胞も皆同じDNAを持っていて、身体の細胞は蛋白質を合成し細胞分裂するが、脳細胞は蛋白質の合成も細胞分裂も行わない。脳細胞は情報処理を行うためにDNAを使用していると考えられ、DNAはチューリングマシンのテープ、又は、マイクロコンピュータのROMに相当するものと考えられる。

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