The differential operator (c) 1998 Akio Wakabayashi

3.6　２次微分演算子
. . 関数 y(t) が y(t)∈C^p+1[a, b] であるとき、導関数は y' (t)∈C^p[a, b] であり、Newton の補間公式(3.21)で表されねばならない。何故なら、剰余項が零になる等間隔区分点は y(t) の公式は p+1 点あるが t₀ から t_p−1 迄の p 点に減ずるからである。同様に、２次導関数は y"(t)∈C^p−1[a, b] であり、剰余項が零になる等間隔区分点は t₀ から t_p−2 迄の p−1 点に減ずる。従って、次のように Newton の補間公式で表される。

. .［定理 3.11］. .y"(t)∈C^p−1[a, b] のとき、t=t₀+qh∈[a, b] を満たす任意の実数 q に対して、

____(3.43) ［証明］. .定理 3.1 の証明において y(t) 及び p にそれぞれ y"(t) 及び p−2 を代入すると、(3.3)及び残差(3.4)の F(u) は次のようになる。
Eq3_44

________(3.44) Eq3_45

________(3.45) 残差 F(u) は u=0, 1, 2, ……, p−2 及び q の p 点で零になる。故に、p−1 次の微係数は Rolle の定理によりこれらの点の最大値と最小値の間のある点で零になる。その点を ξ"=t₀+uh とすると、
Eq3_45a

この剰余項は q の値が整数の場合も成立する。その証明は(3.6)において述べたのと同様に行われる。_________________________［証明終］
. . 定理 3.2 の証明と同様に、p−1 階の階差 Δ^p−1y₀" は次のように剰余項だけを持つ公式で表される。

________(3.46) |y^(p+1)(t)|≤M が満たされるとき、p−1 階の階差は h→0 に対して Δ^p−1y₀"→0 が成立し、２次導関数 y"(t) は p−2 次関数により十分な精度で近似できる。従って、次のようにベクトルで表される。

________(3.47) ベクトル Y₀" と Y₀' の関係は(3.21)に示した y' (t) の Newton の補間公式を微分して得なければならない。その微分は(3.23)に示した残差 F(u) を用いて間接的に行わなければならない。

. .［定理 3.12］. .y' (t)∈C^p[a, b] のとき、t=t₀+mh∈[a, b] を満たす任意の整数 m に対して、

_____(3.48) ［証明］. .導関数 y' (t) と m<q<m+1 を満たす実数 q 以外においては近似剰余項を持つ補間公式の間に(3.23)で示される残差 F(u) が存在する。これを変数 u により微分すると、その導関数は k=0 の項は消え、R_q の値は変数 u に対して定数であるから(3.49)で表される。
Eq3_49

______(3.49) 残差 F(u) は点 q の近辺で Fig. 3.1 に類似の図で表される。従って、微分係数 F' (u) は m<q₁<q を満たす或る q₁ に対して零になる。その点 q₁ は q→m に対して q₁→m になり、q に関する関数列 F(u) は連続であるから ξ' →ξ_m' 且つ F' (m)=0 を満たす ξ_m' が存在する。ここで、R_q の値は(3.24)により次のように与えられる。

_______________［証明終］
. . (3.48)の係数は定理 3.6, 3.7, 3.8 及び 3.9 が成立するから、定理 3.10 は y₀", y₀' 及び p−1 を y₀' , y₀ 及び p のそれぞれに代入した場合にも成立する。従って、(3.48)の逐次階差は次のように表される。
0≤m≤p−2 なら、
Eq3_50

及び、m=p−1 なら、____

________________(3.50). . この逐次階差を行列演算式で表すと次のようになる。
Eq3_51

___(3.51). . (3.38) 及び (3.39)は y₀", y₀' 及び p−1 を y₀' , y₀ 及び p のそれぞれに代入した場合にも ξ_m の値は異なるが成立する。従って、
Eq3_52

. . 関数 y' (t) がベクトルY₀' で表せるとき、条件 R₀→0 が y^(p+1)(t)≡0 又は h→0 により満たされる。従って、(3.50)において p−1 階の階差は Δ^p−1y₀"=Δ^p−1R₀→0 を満たす。
. . (3.51)の行列は(3.37)の行列 D の最後の列と行を除いた要素からなる。しかし、この行列は行列 D と同じものであり、ベクトル ΔY₀' の Δ^py₀' 及びそれより高階の階差の要素が h→0 に対して全て零になるという理由により最後の列と行は省略されているだけである。従って、(3.40)の最右辺をベクトル Y₀' に代入すると、(3.51)は次のようになる。
Eq3_53

______(3.53) 故に、著者は (ΔD/h)² を２次微分演算子と呼ぶ。
. . この２次微分演算子は y(t) と y' (t) の Newton の補間公式を微分するという２段階の微分により得られた。これは y(t) の Newton の補間公式を一度で２次微分したものと同じでなければならない。その演算子は Δ²D²/h² と表され、D² として表された行列は積 D×D に等しい。これらは以下の定理により示される。

. .［定理 3.13］. .y(t)∈C^p+1[a, b] のとき、t=t₀+rh∈[a, b] を満たす任意の実数 r に対して、

___(3.54) 但し、ξ_q は y(t) の Newton の補間公式の或る点 t=t₀+qh∈[a, b] に対する剰余項を与える値である。
［証明］. .定数 R_q が(3.3)の剰余項の関数 R に代入されたとき、関数 y(t) とこの近似公式の残差 F(u) は(3.4)で表され、u=q の近傍では Fig. 3.1 で表された。微分係数 F' (u) は m<q₁<q<q₂<m+1 を満たす２点 q₁, q₂ で零になる。従って、(3.55)で表される２次微係数 F"(u) は q₁<r<q₂ を満たす或る点 r で零になる。
Eq3_55

____(3.55) 従って、その点 r において、
Eq3_56

剰余項の定数 R_q は(3.5)で与えられるから、ξ を ξ_q で表せば、
Eq3_56a

となる。故に、y"(t₀+rh)は(3.54)で表される。___________________［証明終］

. . F"(r)=0 となる点 r は q→m としても等間隔区分点 m にならない。何故なら、Fig. 3.1 を見れば明らかに点 q₁ は点 m に漸近するけれども点 q₂ は区間 [m, m+1] の中間点に近づくだけだからである。点 q が点 m の左に来たとき、これらの点の関係は m−1<q<q₁<m<q₂<m+1 になり、点 r は点 m のあたりに近づくが点 m になるか定かでない。点 q が m+1 又は m+2 に漸近するなら、点 r は点 m+1 のあたりに近づくが点 m+1 になるか定かでない。しかし、F"(u)は y(t) とその近似補間公式の残差の２次微分であるから(3.55)により次の条件を満たす十分小さな値Mが存在する。

|F"(u)|≤Mh²≤h²|y"(t₀+uh)|_max________∴. .h→0 に対し、|F"(u)|→0 従って、等間隔区分点 m における２次微分係数は剰余項を R_m で表して次の式により表される。剰余項 R_m は h→0 のとき零に収束する。
Eq3_57

. .［定理 3.14］. .k≥1 のとき、
Eq3_58

____(3.58) ［証明］. .関数 f(r) と一次関数 g(r) の積を二回微分すると、 g"(r)≡0 により、

_____(3.59) 故に、
Eq3_59a

定理 3.6 により、

［証明終］

. . 従って、(3.57)の最右辺の係数は m=0 及び k≥1 について次のように順次に得られる。それらは、k=1 のとき１、k=2 のとき (−2/3)+(2/3)(−1/2)=−1、k=3 のとき (−3/4)(−1)+(2/4)(1/3)=11/12、k=4 のとき (−4/5)(11/12)+(2/5)(−1/4)=−5/6 等々である。

. .［定理 3.15］

______(3.60) ［証明］. .(3.59)の一次関数が g(r)=r なら、

故に、

［証明終］

. . ［定理 3.16］. .m≥1 且つ k≥2 のとき、
Eq3_61

____(3.61) ［証明］
Eq3_61a

k≥2 のとき、r−1=u を代入すると、
Eq3_61b

［証明終］

. . ［定理 3.17］. .m≥1 且つ k≥m+1 に対し、
Eq3_62

_____(3.62) ［証明］. .1). . m=1 なら、定理 3.15 により k≥2 のとき以下のように成立する。
Eq3_62

2). . m=n 且つ k≥n+1 のとき成立すると仮定すると、
Eq3_62b

. . m=n+1 且つ k≥n+2 のとき以下のように成立する。
Eq3_62c

. . 従って、Newton の補間公式の２次導関数の t=t₀ における値は(3.57)により次の第１公式で表される。その他の等間隔区分点における公式は上記の定理により以下のように逐次に得られる。ここで、中括弧内の最後の項の係数は(3.62)の k+1=p に対する値である。
Eq3_62d

. . y"(t_m) の逐次階差は上記の式の右辺の逐次階差により得られる。それは同じ k の値を持つ Δ^k+1y₀ の係数の逐次階差を得ることに帰着し、上記の第１式の係数を用いることにより(3.63)に帰着する。但し、m の値は p−2 以下であり、Δ^p−1y₀"=Δ^p−1R₀ が成立する。その証明は定理 3.10 の証明により容易に示される。何故なら、それは定理 3.7 に述べた係数の関係のみに依存し、定理 3.16 はそれと同じ関係だからである。
Eq3_63

___(3.63). . (3.63)は次の行列演算式で表すことが出来る。
Eq3_64

__(3.64). . 剰余項ベクトル R₀ は次の二つの m の関数の積であり、k=p≥m+1 であるから 0≤m≤p−1 である。但し、j=1 から j=0 迄の和は零とする。
Eq3_64a

従って、

. . 条件 R₀→0 は、関数 y(t) がベクトル Y₀ で表せるとき、y^(p+1)(t)≡0 又は h→0 であることにより成立する。従って、p−1 階の階差は Δ^p−1y₀"=Δ^p−1R₀→0 が成立する。
. . ベクトル Δ²Y₀ は演算子 Δ² とベクトル Y₀ の積に等価である。(3.64)の行列は全ての行が同じ要素を持ち、それらはすぐ上の行より１要素右にシフトしている上部三角行列である。従って、この行列を記号 D² で表すと、行列 D² と演算子 Δ² の積は交換可能であり、次のようになる。

_______(3.65)
. . ［定理 3.18］_____D²=D×D
［証明］. .演算子 D の第１行 k 列の要素を d_k で表すと、演算子 D の第 k 列は次に示す縦ベクトルになる。
(d_k, d_k−1, d_k−2, ………, d₂, d₁, 0, 0, ………) 故に、積 D×D の第１行 k 列の要素は次のようになる。
Eq3_66

____(3.66) これは定理 3.15 で D² として示した行列の第１行 k 列の要素に等しい。
. . 演算子 D の第 j 行 k 列の要素を d_jk で表すと、それは k<j では零であり、k≥j では d_k−j+1 である。故に、積 D×D の第 j 行 k 列の要素は、k<j の場合は、m<j に対しては d_jm=0 であり、m≥j に対しては d_mk=0 であるから零である。k≥j の場合は次のようになる。
Eq3_66a

これは(3.66)により第１行 k−j+1 列の要素である。故に、積 D×D の第 j 行は第１行と j−1 要素右にシフトされている他は同じであり、積 D×D は行列 D² に等しい。

［証明終］

. . 演算子 D が p 次の正方行列であるから、積 D×D は p 次の正方行列である。一方、D² で表される行列は(3.64)に示すように p−1 次の正方行列である。しかし、Δ^p+1y₀→0 が成立し、Δ^p−1y₀"→0 は剰余項にのみ依存するという理由により、第 p 行と第 p 列は表記を省略されているだけである。

3.7　高次微分演算子
. . 関数 y(t) が y(t)∈C^p+1[a, b] であるとき、n 次の導関数は y⁽ⁿ⁾(t)∈C^p−n+1[a, b] である。従って、それが Newton の補間公式で表されるとき、剰余項が零になる等間隔区分点は t₀ から t_p−n 迄の p−n+1 点に減少する。

. .［定理 3.19］. .y⁽ⁿ⁾(t)∈C^p−n+1[a, b]のとき、t=t₀+qh∈[a, b]を満たす任意の実数 q に対して、

___(3.67) ［証明］. .y⁽ⁿ⁾(t) の補間公式、及び、剰余項の R が q に対する値 R_q の定数である残差 F(u) は次のように表される。
Eq3_68

. . 残差 F(u) は u=0, 1, 2, ……, p−n 及び q の p−n+2 点で零になる。故に、p−n+1 次導関数は Rolle の定理によりこれらの点の最大値と最小値の間の或る点で零になる。その点を ξ=t₀+uh とすると、
Eq3_69a

この剰余項は q が整数の場合も成立する。その証明は(3.6)で述べたのと同様に行われる。__［証明終］

. . 定理 3.2 の証明と同様にして、p−n+1 階の階差は次のように剰余項だけの公式で表される。

. . |y^(p+1)(t)|≤M が満たされるとき、p−n+1 階の階差は h→0 に対して Δ^p−n+1y₀⁽ⁿ⁾→0 を満たし、n 次導関数 y⁽ⁿ⁾(t) は十分な精度で p−n 次関数で近似できる。従って、次のベクトルで表すことが出来る。

_____(3.71). . n−1 次導関数 y⁽ⁿ⁻¹⁾(t) は(3.67)の n に n−1 を代入することにより Newton の補間公式で次のように表される。
Eq3_72

___(3.72) 従って、ベクトルでは次のように表される。

_____(3.73). . y⁽ⁿ⁻¹⁾(t) を微分すると、等間隔区分点における y⁽ⁿ⁾(t_m) の値は定理 3.12 と同様の証明により y⁽ⁿ⁻¹⁾(t_m) の逐次階差で次のように表される。

(a<ξ_m<b)

_____(3.74)

. . 上記の公式の両辺の逐次階差は 0≤m≤p−n に対しては(3.75)で表され、m=p−n+1 に対しては Δ^p−n+1y₀⁽ⁿ⁾=Δ^p−n+1R₀ で表される。但し、Δ^mR₀ は(3.74)の剰余項を R_m で表してその逐次階差を表す。これは定理 3.6, 3.7, 3.8, 3.9 及び 3.10 により明らかである。
Eq3_75

_____(3.75). . この逐次階差を行列演算式で表すと、

_____(3.76)
. . ［定理 3.20］. .n 次微分演算子は
Eq3_77

________(3.77) ［証明］. .n=1 及び n=2 のとき成立することは既に示した。n−1 次微分演算子のとき成立するとすれば、(3.76)により、
Eq3_78

_____(3.78) R₀→0 の理由は、h^p−n+1y^(p+1)(ξ_m) を Rd_m と置くと定理 3.8 により、
Eq3_78a

. . (3.77)の n 次微分演算子は y⁽ⁿ⁻¹⁾(t) の Newton の補間公式を微分することにより得られている。これは y(t) の Newton の補間公式を n 次微分することにより得られる演算子と同じであることを示さねばならない。

. . ［定理 3.21］. .y(t)∈C^p+1[a, b] 且つ 1≤n≤p のとき、t=t₀+rh∈[a, b] なる任意の実数 r に対し、

___(3.79) 但し、ξ_q は y(t) の Newton の補間公式の或る点 t=t₀+qh∈[a, b] における剰余項を与える値である。
［証明］. .n=1 及び n=2 のとき成立することは既に示した。n−1 次導関数 y⁽ⁿ⁻¹⁾(t) のときも成立すると仮定する。
. . (3.4)に示した残差 F(u) の n−1 次導関数は(3.80)で表され、残差が p+2 点で零になるから n−1 次導関数は p−(n−1)+2 点で零になる。これらの点を u_k(k=1, 2, ……, p−n+3) で表すと、F⁽ⁿ⁻¹⁾(u) の導関数は u_k と u_k+1 の間の或る点で零になる。この点を r で表すと、r におけるこの導関数の値は(3.81)で表される。
Eq3_80

____(3.80) Eq3_81

____(3.81) 定数 R_q は(3.5)により次のように与えられる。

は

に同じであり、k<n に対しては零である。. . 導関数 F⁽ⁿ⁾(r) は上記の p-n+2 点以外では零にならない。しかし、F⁽ⁿ⁾(r) は y(t) とその近似公式との残差の n 次導関数であるから、(3.81)により次の条件を満たす十分小さな値 M が存在する。故に、(3.79)は任意の r について成立する。
Ea3_81d

____［証明終］
. . 従って、等間隔区分点における n 次導関数の値は剰余項を R_m で表して次式で表される。
Ea3_82

___(3.82)
. . ［定理 3.22］. .関数 f(r) と一次関数 g(r) の積の n 次導関数は、

______(3.83) ［証明］. .定理 3.14 により n=1 及び n=2 のときは明らかに成立する。
n=k のとき成立すると仮定すると、g"(r)≡0 により、

. . ［定理 3.23］. .m=0 のとき、(3.82)の k 番目の係数を a_k⁽ⁿ⁾ と表すと、
k≥1 且つ n≥2 に対して、

,____a₀⁽ⁿ⁾=0____(3.84) ［証明］. .k≥1 且つ n≥2 の場合は、(3.83)により、
Eq3_84a

は n−1 次関数であるからその n 次導関数は恒等的に零である。故に、
Eq3_84c

. . これらの係数は p=10 の場合 Table 3.2 で表される。

Table 3.2___p=10 且つ m=0 の場合の(3.82)の k 番目の係数
Tbl3_2

. . ［定理 3.24］. .(3.82)の k 番目の係数を a_mk と表すと、m=0 且つ任意の n に対しては Table 3.2 で表される。m≥1 and k≥2 に対しては、

,　但し、任意の m に対して a_m1=1____(3.85) ［証明］. .n=1 及び n=2 に対しては定理 3.7 及び 3.16 により示された。n−1 次導関数の場合に成立すると仮定すると(3.83)により、

k≥2 の場合には r−1 を u と置くと、
Eq3_85b

. . ［定理 3.25］. .(3.82)の剰余項の m 階の階差を Δ^mR₀ と表すと、
0≤m≤p−n のとき、 Eq3_86

,____

____(3.86) ［証明］. .(3.82)を係数 a_mk で表すと、

m 階の階差 Δ^my₀⁽ⁿ⁾ は右辺の各項毎に係数の m 階の階差を計算することにより得られる。その結果は(3.86)になる。定理 3.24 により、その証明は定理 3.10 と、左辺には y_m⁽ⁿ⁾ があり、右辺の第１項には Δⁿy₀ があることを除いて同じである。

[Q.E.D.]

. . 故に、(3.86)を次の行列演算式で表すことが出来る。

______(3.87) D⁽ⁿ⁾ で表された行列は、k 番目の要素が a_0k である第１行と、m 番目の行は k 番目の要素として a_0k−m を持つ p−n 個の行からなる。但し、a_0k−m は k≤m のときは零である。
. . 剰余項は h→0 のとき R→0 になる。何故なら、(3.82)の剰余項の係数 a_mp−n+2 は、
Eq3_87a

であり、

を満たす値 β_n が存在するからである。但し、|y^(p+1)(t)|≤M である。
. . ［定理 3.26］. .D⁽ⁿ⁾ で表される行列は D で表される演算子 n 個の積である。即ち、
D⁽ⁿ⁾=D×D×………×D ［証明］. .n=2 の場合は既に示した。D⁽ⁿ⁻¹⁾ の場合にも成立すると仮定すると、D⁽ⁿ⁾=D×D⁽ⁿ⁻¹⁾ を証明すればよい。(3.86)の k, m, a_0k, R₀ の代わりにそれぞれ j, k, a_j⁽ⁿ⁾, R_(n) を使い、n に n−1 を代入すると、
Eq3_87c

(3.75)の Δ^ky₀⁽ⁿ⁻¹⁾ にこれを代入し、剰余項を R₀ の代わりに R₍₁₎ で表すと、
Eq3_88

____(3.88) y^(p+1)(t)≡0 と仮定すると、Δ^kR_(n−1), R₍₁₎ 及び R_(n) を持つ項は消え、(3.88)は次のようになる。
Eq3_89

_____(3.89) j+k−1+m>p−n+1 となるような j と k の値があり、それらの階差は Δ^py₀より高階である。これらの階差は剰余項の一部であり、仮定により消える。j+k−1+m を i で置き換え、その他の項を i=1, 2, 3, ……… の順に Δⁱ により並べ替えると、m=0 の場合には、

i=1 なら k=1 且つ j=1 でなければならない。従って、Δ の係数は下式の 1) である。これは D の第１行と、D⁽ⁿ⁻¹⁾ の第１列の積である。
i=2 なら(k=1, j=2) 及び (k=2, j=1) である。従って、Δ² の係数は下式の 2) である。これは D の第１行と、D⁽ⁿ⁻¹⁾ の第２列の積である。
i=3 なら (k=1, j=3), (k=2, j=2) 及び (k=3, j=1) である。従って、Δ³ の係数は下式の 3) である。これは D の第１行と、D⁽ⁿ⁻¹⁾ の第３列の積である。
同様にして、 i=p−n+1 なら k=1∼(p−n+1) に対して j=(p−n+1)∼1 である。従って、Δ^p−n+1 の係数は下式の 4) である。これは D の第１行と、D⁽ⁿ⁻¹⁾ の第 p−n+1 列の積である。

. . m=1 の場合には、i=1 なら j+k=1 であるから k 及び j の値は存在しない。従って、Δ の係数は零である。これは D の第２行と、D⁽ⁿ⁻¹⁾ の第１列の積である。i=2 なら j と k の値は上記箇条書き第１項の場合であり、Δ² の係数は上式の 1) である。これは D の第２行と、D⁽ⁿ⁻¹⁾ の第２列の積である。i=3 なら j と k の値は上記箇条書き第２項の場合であり、Δ³ の係数は上式の 2) である。これは D の第２行と、D⁽ⁿ⁻¹⁾ の第３列の積である。i=4 なら j と k の値は上記箇条書き第３項の場合であり、Δ⁴ の係数は上式の 3) である。これは D の第２行と、D⁽ⁿ⁻¹⁾ の第４列の積である。i=p−n+1 なら j+k=p−n+1 であるから k=1∼(p−n) に対して j=(p−n)∼1 である。従って、Δ^p−n+1 の係数は下式になる。これは D の第２行と、D⁽ⁿ⁻¹⁾ の第 p−n+1 列の積である。
Eq3_89b

. . m≤p−n である任意の m の場合は、i が m 以下なら j+k−1+m≤m 、即ち、j+k≤1 であるから k 及び j の値は存在しない。従って、これらの Δⁱ の係数は零である。これは D の第 m+1 行と、D⁽ⁿ⁻¹⁾ の第 i 列の積である。 i=m+1 なら j 及び k の値は上記箇条書き第１項の場合であり、Δ^m+1 の係数は上式の 1) である。これは D の第 m+1 行と、D⁽ⁿ⁻¹⁾ の第 m+1 列の積である。同様にして、i=p−n+1 なら j+k=p−n+2−m であるから k=1∼(p−n+1−m) に対して j=(p−n+1−m)∼1 である。従って、Δ^p−n+1 の係数は下式になる。これは D の第 m+1 行と、D⁽ⁿ⁻¹⁾ の第 p−n+1 列の積である。
Eq3_89c

. . y^(p+1)(t) が恒等的に零ではないとき、Newton の補間公式は関数 y(t) を t^p+1 より低次の部分と残りの２つの部分に分ける。その微分は低次の部分には Δ^py₀ より高階の階差を生じないし、残りの部分は h→0 により消える。故に、D⁽ⁿ⁾=D×D⁽ⁿ⁻¹⁾ は y(t)∈C^p+1[a, b] なる関数について常に成立する。

[Q.E.D.]

. . 従って、任意の m に対する Δⁱ の係数は一般的に(3.90)で表される。
Eq3_90

_____(3.90) これらの係数を用い、且つ、i−m の代わりに k を用いると(3.89)は次のようになる。
Eq3_90b

これは剰余項のない(3.86)に同じである。

. . [定理 3.27]

_____(3.91)

____(3.92) （第一種 Stirling 数） ［証明］. .π(u,0)=1 であるから α₀⁽⁰⁾=1 は明らかである。k≥1 なら、
Eq3_92a

u^k の係数を(3.91)と比較すると

を得る。k≥1 に対して u⁰ を持つ項は存在しない。従って、α₀^(k)=0 である。その他の u^j の係数に対して、

. . (3.91)により(3.82)の中辺の係数は t=t₀ において Stirling 数で次のように表される。何故なら、r=0 に対しては j=n の場合だけが存在するからである。
Eq3_93

____(3.93) j<n に対しては r^j−n の項は存在しないから k<n に対する係数は零である。従って、k に k+n−1 を代入すると新しい k の値は k+n−1≥n であるから k≥1 となり、 m=0 における(3.82)の最右辺の係数を得る。これに(3.92)を代入すると次に示すように定理 3.23 が得られる。
Eq3_93c

. . n=1 の場合には、(3.93)の j の値は j=1 であり、Stirling 数は次式で表されるので(3.30)が得られる。
Eq3_93a

. . j>1 に対する Stirling 数を簡単な公式で表すことは容易でない。しかし、以下に示すように Table 3.3 を用いることにより簡単に計算できる。j=k の欄に α_j^(k)=1 をセットし、k≥1 の欄に α₀^(k)=0 をセットすれば、j<k に対する α_j^(k) は(3.92)により得られる。
. . Table 3.3 及び(3.93)を用いることにより、演算子 Dⁿ の第１行 k 列の要素を計算することが出来る。但し、j 及び k の値はそれぞれ Table 3.2 の n 及び k+n−1 である。例えば、Table 3.2 の n=5 且つ k=6 の係数は次のように求まる。

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