3.　演算子法

1.　ベクトル
1.1　ベクトルの定義
. . 等間隔点 t_k=t₀+kh, k=0, 1, 2, 3, ……, p における関数 y(t) の値が y₀, y₁, y₂, y₃, ………, y_pであるとき、著者は(1.1)の右辺に示した階差の順序集合を t=t₀における関数の順序集合と定義する。この順序集合は(1.1)の左辺のような太字の大文字又は小文字で表してよい。通常、混乱の恐れがないならその文字は順序集合の第１要素を示すであろう。

1.2　ベクトル空間の性質
. . (1.4)に示すように、１つの要素のみが零でなく、且つ、順序集合 Y₀のそれぞれの要素に等しい順序集合で表された p+1 個のベクトルが存在する。その一次結合は α₀, α₁, α₂, ……, α_pをスカラーとして(1.5)で表される。零ベクトルの定義により、これらの係数が全て零のときのみこの一次結合は零である。従って、この p+1 個のベクトルは一次独立であり、ベクトル空間は p+1 次元空間である。ベクトル Y₀はこの空間の点であり、全ての係数を１とした p+1 個のベクトルの一次結合である。この p+1 個のベクトルはベクトル Y₀の要素である。

1.3　ベクトルの階差
. . 著者はベクトルの階差を２つのベクトル、即ち、関数 y(t)の t₀におけるベクトル Y₀と t₁=t₀+h におけるベクトル Y₁の減算で定義する。それは(1.9)で表され、関数の減算で得られる関数 Δy(t)=y(t+h)−y(t)の t=t₀におけるベクトルに等しい。それは Δ とベクトル Y₀の要素の積を要素とするベクトルに等しく、第１要素が Δy₀であるから ΔY₀で表される。

1.4　ベクトルの積
. . 著者は２つのベクトルY と Z の積を２つの関数の積のベクトル W として定義し、W=YZ と表す。

. . ［定理 1.1］. .３つの関数の等間隔点 t₀, t₁, t₂, …… , t_pにおける値を y₀, y₁, y₂, …… , y_p 及び z₀, z₁, z₂, …… , z_p 及び w₀, w₁, w₂, …… , w_pで表すと、ベクトルの積 W=YZ は(1.12)の行列演算で表される。

故に、第３行が成立する。

故に、第 j+1 行が成立する。________［証明終］

. . (1.12)の行列は次のようにして得られる。関数値 y_k−1を k 番目の対角要素に置き、対角要素より右にある全ての要素に零を置く。対角要素の左の要素に階差表を、第 j 行 k 列(k<j)要素の値が第 j 行 k+1 列の値から第 j−1 行 k 列の値を引いた階差になるように構成した後、第 j 行 k 列の値に２項係数 を掛ける。従って、その行列の第１列はベクトル Y を構成する。
. . ベクトルで演算を実行する演算子法の場合には、この行列は次の方法で求める。ベクトル Y を行列の第１列に置き、その右に、第 j 行 k 列(1<k≤j)に第 j−1 行 k−1 列の値と第 j 行 k−1 列の値の和を置く方法で階差表を構成した後、第 j 行 k 列の値に２項係数 を掛ける。
. . この行列はベクトルと同じであるが太字でない文字により表す。従って、ベクトルの積は(1.13)で表される。任意のベクトル Z≠0 に対して(Y−Y)Z=0 であるから行列 Y はベクトル Y に等価である。著者はこの行列をベクトルの展開と名付ける。

. . ［定理 1.2］. .全てのベクトル W, Y, Z について次の性質が成立する。

. . 交換則において、ベクトルの積が実行のために(1.12)で表されるとき、左側のベクトルが常に行列に展開されることに注意しなければならない。一方、(1.12)の行列とそれに続くベクトルの順序を入れ替える必要があるなら、両者は行列の積の反転則により転置しなければならない。
. . スカラーと任意のベクトルの積 cY は主対角要素が全て定数 c である対角行列とベクトル Y の積として表せる。この対角行列は定数関数を表すベクトル C=(c, 0, 0, ……)を展開した行列に等価である。故に、積 cY はベクトルの積 CY で表すことができる。即ち、本演算子法ではスカラーを定数ベクトルと区別する必要はない。従って、著者は今後、スカラーとベクトルの積という概念は使用しない。
. . しかし、ベクトル C が定数又は定数関数であることを明瞭に示したいなら cY という表記を用いる。この場合、記号 c はベクトル C が展開された行列を示す。この表記は任意の行列を示すときも使われる。
. . ベクトル 1 でベクトル(1, 0, ……, 0)を表すと、任意の定数ベクトルは c1 と表すことが出来る。この表記は、微分方程式の解を行列演算で表すとき初期値を y₀1 で表すために使われる。何故なら、定数ベクトル(y₀, 0, 0, ……)を(1.1)のベクトル Y₀とベクトルの表記規則では区別できないからである。
. . (1.12)に Z=1 を代入すると、任意のベクトル Y は Y=Y1 と表される。従って、著者はベクトル 1 を単位ベクトルと名付ける。Y1=1Y であるからベクトル 1 は単位行列に展開できる。

. . ［定理 1.3］. .W=YZ のとき、これらのベクトルを展開した行列 W, Y, Z の間に等式 W=YZ が成立する。

［証明］. .行列 C で Y と Z の積を表すと、行列 C はベクトル W を展開した行列 W に等しいことを示す。
. . 行列 C,Y,Z の要素をそれぞれ c_jk, a_jm, b_mk, ( j, k, m≥1)で表すと、要素 a_jm は m>j のとき全て零であり、要素 b_mk は m<k のとき全て零である。従って、行列 C は k>j の要素が全て零の三角行列である。何故なら、a_jm と b_mk の積において m≥k に対しては m>j だからである。k≤j の場合は、ベクトル W, Y, Z が表す関数の値をそれぞれ w_j−1, y_m−1, z_k−1 で表すと、

1)	. .k=j の場合は m=j だけであるから(1.14)は cjj=yj−1zj−1=wj−1となる。これは行列 W の主対角要素の j 番目の要素に等しい。
2)	. .k=j−1 の場合は、 m=j−1=k と m=j=k+1 であるから、 これは行列 W の主対角要素の左の要素に等しい。
3)	. .k=j−2 の場合は、m=k, k+1, k+2 であるから、 但し、 　且つ k+1=j−1 である。 従って、cjk は行列 W の第 j 行 j−2 列に等しい。
4)	. .k=j−n のとき、cjk は行列 W の第 j 行 k 列に等しいと仮定すると、 . . k=j−(n+1) のときは m の値は u=0 から u=n+1 に対して m=k+u であり、且つ、 従って、 故に、行列 W の第 j 行 j−(n+1) 列に等しい。 ［証明終］

1.5　ベクトルの商
. . 等式 W=YZ が成立するとき、著者は被乗数、即ち、ベクトル Y をベクトル W と Z の商と定義し、Y=W/Z で表す。ベクトル W は定理 1.2 により等式 W=ZY で表すことも出来る。この場合、ベクトル Z がベクトル W と Y の商であり、Z=W/Y と表される。商 1/Y がベクトルなら、著者はそれを Y の逆ベクトルと呼び、ベクトル Z を Z=W(1/Y)=(1/Y)W とも表す。又、逆ベクトルを Y⁻¹ とも表し、演算 W=YZ の逆演算 Z=Y⁻¹W に用いたときこれを逆商と呼ぶ。
. . 関数 y(t)の値 y_k が零でないなら、関数 z(t)=w(t)/y(t) の t=t_k における値、z_k=w_k/y_k で表される値 z_k が存在する。区分幅 h の等間隔点 t₀, t₁, t₂, ……, t_p に対して z₀ から z_p 迄の値が全て存在するなら、それらの階差で構成されるベクトル Z がベクトル W と Y の商である。又、 z_k=w_k(1/y_k) であるから、商 Z はベクトル W と 1/y₀ から 1/y_p 迄の階差で構成されるベクトルの積により求めることが出来る。逆ベクトル Y⁻¹ はこの 1/y_k の階差で構成されるベクトルである。従って、商及び逆ベクトルが存在する必要十分条件は、ベクトル Y を展開した行列 Y の対角要素に零がないことだから行列式 det(Y)≠0 である。

. . ［定理 1.4］. . 逆ベクトル Y⁻¹ は一意であり、その要素は以下に示される。但し、Y_1k はベクトル Y を展開した行列 Y の行列式の第１行第 k 列の要素の余因子を示し、det(Y)は行列 Y の行列式を示す。

(1.15)

. .［定理 1.5］. . 逆行列 Y⁻¹ を展開した行列はベクトル Y を展開した行列 Y の逆行列である。

［証明］. .det(Y)≠0 であるから、逆行列 Y⁻¹ が一意に存在する。Z で逆ベクトル Y⁻¹ を展開した行列を表す。YY⁻¹=1 であること及び、定理 1.3 により、

1.6　ベクトルの商の拡張定義
. . 関数の或る値 y_k が零なら、階差を 1/y_k=∞ の点で計算不可能であるから、ベクトル Y による商も逆ベクトル Y⁻¹ も存在しない。関数 y(t)が区間[t₀, t_p]において t 軸と交差するとこのようなことが起こる。しかし、交差点を含まないように区間に制限をつけるか、等間隔点間の区分幅 h をどの点も交差点に一致しないように調節するなら、そのベクトルによる商も逆ベクトルも存在することになる。区間[t₀, t_p]における関数のベクトル Y による商の存在に関する特性が等間隔区分幅の値により変わるということは不便である。それで、著者はそのような場合にも商が存在するように商の定義を拡張する。
. . 関数の値 y_k が零のとき、積 w_k=z_ky_k は一意に零であり、従って、ベクトル W は W=ZY により一意に決まる。この場合に、著者は、商 Z は一意に存在すると定義し、商を Z=W/Y で表す。定義により、ベクトル Y を展開した行列 Y の det(Y) が零でもベクトル Y が零でないなら商が存在する。故に、商は数の商に類似となるが、逆ベクトルが存在するためには積 W は単位ベクトル 1 でなければならないのに w_k=z_k×0≠1 であるから、ベクトル Y の逆ベクトルは存在しない。しかし、Y/Y=1 は商の定義 Y=1Y により det(Y) が零でも成立するから、商を 1/Y 又は Y⁻¹ による積で表すことは認められる。故に、

. . ［定理 1.6］. .商及び拡張された商 Z=W/Y は次の行列演算で表される。

. .(1.17)

1)	(1.17)の第１行は y0z0=w0 を与える。故に、z0=w0/y0
2)	これを右辺の Z に代入すると、第２行から、
3)	これを右辺の Z に代入すると、第３行から、
4)	同様にして、
5)	その他の高階の階差は同様の方法で全て得られる。

1.7　ベクトル値関数
. . 連続関数 y(t) があるとき、等間隔区分点 t_k=t₀+kh にそれぞれ第１要素が y(t₀), y(t₁), y(t₂), …… であるベクトル Y₀, Y₁, Y₂, …… が存在する。更に、任意の点 t に第１要素が y(t) であるベクトル Y が連続的に存在する。この最初の点を x₀ で表せば、等間隔区分点は k=0, 1, 2, ……, p に対して x_k=x₀+kh で表される。従って、それらは p+1 個の要素を持つ次のベクトルで表される。ベクトル Y も同じ個数の要素を持つ。

. .(1.19)

. .(1.21)

. .(1.24)

1.8　ベクトルの絶対値
. . ベクトルが存在する条件はの値が全て存在することである。従って、ベクトル Y が定義されている範囲の全ての k に対して条件 y_k≥0 が満たされねばならない。この場合、第１要素以外の符号は関数の形に依存するので、全ての y_k の値がその条件を満たしているか否かを要素の符号から直接判断することは常には出来ない。ベクトル Y を展開した行列の主対角要素の符号を全て調べることが必要である。全ての対角要素が零以上ならベクトル Y の平方根は存在する。
. . 故に、著者はその場合に Y≥0 であると定義する。対角要素が全て零より小なら Y<0 と定義する。従って、正でも零でも負でもないベクトルが存在することを覚えておく必要がある。このようなベクトルはその定義範囲において関数 y(t) が t 軸と交差していることを示す。区分幅 h→0 の極限ではこのようなベクトルは消える。
. . ベクトルの絶対値は正又は零のベクトル値として定義しなければならない。関数の絶対値 |y(t)| は又 t に関する関数であり、その関数を変換したベクトルが存在する。著者はそのベクトルを Y の絶対値と定義し、|Y| と表す。従来のベクトルの絶対値の概念はこの意味を持たないから本演算子法では使用しない。
. . ベクトル |Y| を行列に変換するなら、定義により主対角要素は関数値の絶対値 |y_k| であり、その他の要素は第 1.4 節で述べた展開法により構成される。その第１列はベクトル |Y| であり、ベクトル |Y| の第１要素は |y₀| であるから正であるが、他の要素が正であるか否かは関数 y(t) の形に依存する。従って、一般的には、或るベクトルが他のベクトルの絶対値であるか否かは２つのベクトルを行列に展開しなければ判断できない。
. . 要素があるベクトル Y の要素の絶対値であるベクトルは正である。しかし、そのベクトルと |Y| の関係は(1.25)で表される。

. .［定理 1.7］. .

(1.25)

_____［証明終］