3.8　注意すべき問題
. . 任意の同次微分方程式はその初期値と共に定理 3.4 により伝達関数に変換することが可能である。従って、微分方程式の数値解法において述べたように、この数値シミュレータは t=0 から遠くの点まで正確にインパルス応答を求めることが出来ない場合があるという問題があり得る。
. . 微分方程式が z" +3z' +2z=0 で初期値が z(0)=1 及び z' (0)=−2 のとき、y(t)=z(t)u(t)のラプラス変換は定理 3.4 及び k=0 により(3.51)で表される。この分子と分母にある s+1 を消去しない場合は、第1.7節の微分方程式の数値解の安定性で述べたように数値シミュレータは t の大きなところまで正確な解を得ることはできない。

	2	3	1			0		=		1		∴	Y(s)=	s+1 s2+3s+2	=	1 s+2	(3.51)
	3	1	0			1				1
	1	0	0			−2				0

	2	20	1			0		=		20		∴	Y(s)=	s+20 s2+20s+2	(3.52)
	20	1	0			1				1
	1	0	0			0				0

3.9　畳込み積分
. . 畳込み積分は(3.53)で表され、被積分関数と積分上限の２箇所に変数 t を持つ。従って、変数 t に関する微分は定理 3.5 に述べるように、どちらかの変数 t を定数と看做した二つの微分の和になる。故に、(3.54)で表される。

	t	f(τ)g(t−τ)dτ =		t	f(t−τ)g(τ)dτ	(3.53)
	0			0

d dt		t	f(τ)g(t−τ)dτ=f(t)g(0)+		t	f(τ)	d dt	g(t−τ)dτ	(3.54)
		0			0

d dt		t	g(t, τ)dτ=g(t, t)+		t	d dt	g(t, τ)dτ	(3.55)
		0			0

. . ［定理 3.6］. . f(t)及び g(t)が二つの同次微分方程式の解であるとき、これらのラプラス変換の積は、

F(s)•G(s)=		∞	e	−st	u(t)		t	f(τ)g(t−τ)dτdt	(3.56)
		0					0

［証明］	G(s)=		∞	g(t)u(t)e	−st	dt =		∞	g(t−τ)u(t−τ)e	−s(t−τ)	dt
			0					τ

F(s)•G(s)=

∞

f(τ)u(τ)e

−sτ

dτG(s)=

∞

f(τ)u(τ)e

−sτ

∞

g(t)u(t)e

−st

dtdτ

0

0

0

	=	∞		∞	f(τ)u(τ)g(t−τ)u(t−τ)e	−st	dtdτ
		0		τ

F(s)•G(s)=

∞

t

f(τ)u(τ)g(t−τ)u(t−τ)e

−st

dτdt=

∞

e

−st

u(t)

t

f(τ)g(t−τ)dτdt

0

0

0

0

. . ［定理 3.7］		t	δ(τ)δ(t−τ)dτ=δ(t)	(3.57)
		0

［証明終］

. . ［定理 3.8］		t	h(τ)δ(t−τ)dτ=h(t), . .where. . h(t)=kδ(t)+g(t)u(t)	(3.58)
		0

	t	{kδ(τ)+g(τ)u(τ)}δ(t−τ)dτ= kδ(t)+g(t)u(t)		t	δ(t−τ)dτ= kδ(t)+g(t)u(t)
	0			0		［証明終］

	∞	e	−st		t	h(τ){k	f	δ(t−τ)+f(t−τ)u(t−τ)}dτdt= G(s)•F(s)	(3.59)
	0				0

［証明終］

. . 上の定理により、h(t)と δ(t)の畳込み積分が零なら、関数 h(t)は恒等的に零である。故に、ラプラス変換 H(s)×1 が零なら H(s)は零、即ち、関数 h(t)は恒等的に零である。この関係は任意の二つの関数の畳込み積分についても同様である。
. . インパルス応答 h(t)は t≤0 では零であるから、ラプラス変換演算は h(t)の畳込み積分に u(t)を掛ける必要はない。k_f=k_h=0 の場合、定理 3.9 は定理 3.6 と等価であり、h(t)=g(t)u(t)であるからこの場合の畳込み積分に u(t)を掛ける必要はない。
. . ラプラス変換可能な関数は、δ(t)及びその導関数以外は分母より次数の低い分子を持つラプラス変換となる。従って、そのような関数 F(s)によって伝達関数 G(s)が駆動された場合の応答が Y(s)なら、駆動関数は f(t)u(t)であり、応答 y(t)は h(t)と f(t)の畳込み積分で表される。故に、それは次に示すように y(t)=z(t)u(t)と表される。

3.10　任意関数に駆動される微分方程式と伝達関数
. . Y(s)が F(s)に駆動される伝達関数 G(s)の応答であるとき、(3.61)で表される。定理 3.3 の証明により f(t)u(t)及びその全ての導関数の t=0 における値は零である。y(t)及びその全ての導関数の t=0 における値も、(3.60)により y(t)=z(t)u(t)であるから全て零である。従って、定理 3.3 により y(t)は微分方程式(3.62)の解である。

Y(s)= G(s)F(s)=

bnsn+bn−1sn−1+bn−2sn−2+ +b0 sn+an−1sn−1+an−2sn−2+ +a0

F(s)

(3.61)

y(n)+an−1y(n−1)+an−2y(n−2)+ +a0y= bn{f •u}(n)+bn−1{f•u}(n−1)+ +b0{f•u}

(3.62)

z(t)= kf(t)+		t	g(τ)f(t−τ)dτ	(3.63)
		0

z(n)+an−1z(n−1)+an−2z(n−2)+ +a0z= bnf(n)+bn−1f(n−1)+ +b0f	(3.64)
z0 = f0 0 0 0 k z0' f0' f0 0 0 g0 z0" f0" f0' f0 0 g0' z0(n) f0(n) f0(n−1) f0(n−2) f0 g0(n−1)	(3.65)

___.

h(n)+an−1h(n−1)+ +a0h= bnδ(n)+bn−1δ(n−1)+ +b0δ

g(n)+an−1g(n−1)+ +a0g=0

		(3.67)

. .例題 1.. .Y(s)=

s−a s+a

•

1 s2

. .は微分方程式　y' +ay={tu(t)}' −atu(t)

,. .y(0)=0

(3.68)

一般解は . .z=

2 a

−t+C

e

−at

. .であり、積分定数は z(0)=0 により

. .C=

−2 a

. . 例題 2.. .

は微分方程式　

.

3.11　簡単な解法
. . 関数 f(t) の微分が困難な場合には、微分方程式(3.64)の右辺は数値微分法によって得ることが出来る。しかし、精度に関して多少問題があるかもしれない。この問題は次の定理により回避することが出来る。

. . ［定理 3.12］. . 微分方程式(3.62)は次の微分方程式に等しい。

. .故に、

故に、

. . の場合は、微分方程式 z' +az=0, z(0)=1 の解は z=e^−at である。故に、

. . 数値解法の場合には、第 1.5 節で述べたように、微分方程式(3.80)は(3.83)に示す解の存在条件を必要とする。その条件は h<0.000998 となる。但し、h は著者の３分点法及び Runge-Kutta法の場合にはステップ幅の半分である。 t=0 の近傍で正確な解を得るためには h の値はもっと厳しい条件を満たさねばならない。しかし、その条件は解が分からなければ得られない。この問題は、第 2.3 節で述べた著者の可変刻み幅３分点法により解決できる。

3.12　数値シミュレータのプログラム
. . 数値シミュレータのプログラムは印刷手続き以外は n 階の微分方程式の解法である Program 2.2 と同じものである。印刷手続きは、次に示すように伝達関数の分子を計算する副プログラムが必要である。

. . 58 行で与えられた等間隔点における結果のみを印刷するために、結果を印刷する副プログラムである 54 行の先頭に"IF EB<EE THEN RETURN ELSE"が付加されている。54 行の"YY#=Y(1)"も"GOSUB 55:YY#=G"で置き換えられている。 55 行は(3.73)及び(3.77)の多項式の値を与える。但し、 Y(k+1)は z^(k)の値を持つ。56 行は次のように微分方程式(3.72)の z⁽ⁿ⁾の値を与える。

3.13　最も重要なアイディア
. . 上記に述べた方法は、ある問題を解く方法は一つだけではないことを示す。もし、関数表現された応答を得たいなら逆ラプラス変換が簡単であり優れている。しかし、数値データで表された応答を得たいなら n 階の微分方程式の数値解法が、ポールの計算も複素数の使用も必要ないので、簡単であり優れている。
. . アナログコンピュータは高次の伝達関数を一次および二次の伝達関数の組み合わせでシミュレートする。これは逆ラプラス変換のシミュレーション、即ち、積分機構のシミュレーションに等価である。ディジタルコンピュータも同様の方法でシミュレートすることもできる。しかし、著者の n 階の微分方程式の数値解法でシミュレートするほうがシミュレーション言語の必要もなく、簡単で優れている。これは微分方程式のシミュレーションであり、微分方程式がラプラス変換で表せないようなシステムもシミュレートできる。
. . これらは、アナログシステムでは簡単ではなくても、ディジタルシステムではその問題を解く簡単にして優れた方法があり得ることを示す。著者は、脳は自動制御機構であると考えているが、そのシミュレーションについても同様のことが言える。この考えが音声の合成と認識及び超並列処理に関する新しい、簡単な方法を開発することとなる。