2.1 高次多項式を用いる解法
. . 著者の演算子法から高次多項式を用いる多くの解法を導くことができる。等間隔が４点ならy₃の予測子が(1.2)の手順[3]に追加され、その繰返しは行われない。次に、(2.1)に示すように手順[4]でy₁, y₂及びy₃を修正し、これをもう２回繰り返す。 y₃の修正子はSimpsonの3/8則と呼ばれる。
. . 等間隔点が５点ならy₄の予測子が手順[4]に追加され、その繰返しは行われない。次に、(2.1)に示すように手順[5]でy₁, y₂, y₃及びy₄を修正し、これをもう２回繰り返す。y₄の予測子はMilneの予測子と呼ばれ、手順[5]の最後の修正子はNewton-Cotesの５点則と呼ばれる。

2.2　プログラム2.1の結果の精度

Table 2.1 Results of y' =100(sin t −y), y(0)=0
t	5 points method		3 points method	Accurate solution	10n
	step=0.01	step=0.02	step=0.01
0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10 0.11 0.12 0.13 0.14 0.15 0.16 0.17 0.18 0.19 0.20	3.6785675 1.1352742 2.0495741 3.0177429 4.0055022 5.0001778 5.9970450 6.9943026 7.9912253 8.9874841 9.9828921 1.0977320 1.1970656 1.2962799 1.3953644 1.4943098 1.5931056 1.6917419 1.7902094 1.8884978	: 1.1305087 : 3.0164769 : 4.9999267 : 6.9942616 : 8.9874819 : 1.0977326 : 1.2962806 : 1.4943106 : 1.6917431 : 1.8884990	3.6805207 1.1354182 2.0496540 3.0177828 4.0055208 5.0001867 5.9970498 6.9943063 7.9912283 8.9874871 9.9828951 1.0977323 1.1970660 1.2962803 1.3953649 1.4943101 1.5931059 1.6917424 1.7902099 1.8884982	3.67875972 1.13528838 2.04958203 3.01774709 4.00550414 5.00017871 5.99704594 6.99430354 7.99122609 8.98748430 9.98289234 1.09773202 1.19706571 1.29628001 1.39536462 1.49430988 1.59310573 1.69174212 1.79020948 1.88849783	-03 -02 -02 -02 -02 -02 -02 -02 -02 -02 -02 -01 -01 -01 -01 -01 -01 -01 -01 -01

. . Table 2.1 はProgram 2.1 及び著者の３点法による硬い微分方程式の解を示す。ステップ間隔0.02の５点法はステップ間隔0.01の３点法と同じ解の存在条件h＝0.005を持ち、その解は3点法を2ステップ使用した解より僅かに精度が悪い。しかし、5点法は精度が良くないと結論付けるのは正しくない。何故なら、1ステップの解の差分が小さいほど解の精度は良いのであり、5点法の1ステップの解の差分y(0.02)−y(0)は3点法の最初のステップの解の差分y(0.01)−y(0)の3倍あるからである。
. . 両解法の1ステップの解の差分が同じなら5点法が3点法より約2桁精度の良い解を得る。しかし、5点法の区分幅ｈは3点法の半分であり、この比較は公正でない。その理由は、解法が同じでも区分幅が小さいほど解の精度は良いからである。故に、区分点数の異なった解法をすべて同じ条件で比較することはできない。しかし、Table 2.1から5点法が3点法より精度が良いといってよい。
. . Table 2.2において、ステップ幅0.2の5点法及びステップ幅0.1の3点法のt<5の範囲にわたって見られるように、1ステップの解の差分が小さければ5点法の方が3点法よりも精度が良い。しかし、t=10の近辺では前者は後者よりやや精度が悪い。h=0.1の場合は、解の存在条件はt>6.2の範囲にわたって満たされているが、ステップ幅0.4の5点法はあたかもMilne法の解であるかのごとく、精度の悪い解を示す。一方、ステップ幅0.2の3点法は未だそのような現象を示さない。

Table 2.2 Comparison of results for y' =−ty, y(0)=10
t	5 points method		3 points method		Accurate solution	10n
	step=0.2	step=0.4	step=0.1	step=0.2
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6 2.8 3.0 3.2 3.4 3.6 3.8 4.0 4.2 4.4 4.6 4.8 5.0 5.2 5.4 5.6 5.8 6.0 6.2 6.4 6.6 6.8 7.0 7.2 7.4 7.6 7.8 8.0 8.2 8.4 8.6 8.8 9.0 9.2 9.4 9.6 9.8 10.0	9.8019867 9.2311630 8.3527012 7.2614899 6.0653062 4.8675218 3.7531109 2.7803729 1.9789866 1.3533529 8.8921607 5.6134742 3.4047434 1.9841090 1.1108987 5.9760120 3.0887051 1.5338017 7.3179612 3.3545773 1.4774466 6.2519166 2.5417918 9.9286321 3.7261707 1.3435525 4.6544174 1.5491348 4.9535777 1.5217796 4.4913250 1.2734457 3.4685890 9.0755092 2.2809560 5.5062621 1.2766163 2.8423704 6.0765867 1.2472022 2.4571213 4.6453811 8.4258602 1.4657175 2.4442777 3.9057119 5.9762683 8.7508212 1.2251042 1.6381593	: 9.2311630 : 7.2614903 : 4.8675227 : 2.7803733 : 1.3533508 : 5.6133890 : 1.9839504 : 5.9740677 : 1.5320852 : 3.3431742 : 6.1933859 : 9.6927281 : 1.2681434 : 1.3573090 : 1.1355667 (exp) 6.69(-09) : 2.06(-10) : -7.28(-13) : 3.47(-14) : -3.68(-15) : 6.79(-16) : -1.96(-16) : 8.48(-17) : -5.25(-17) : 4.56(-17)	9.8019867 9.2311630 8.3527012 7.2614894 6.0653052 4.8675203 3.7531087 2.7803702 1.9789841 1.3533506 8.8921440 5.6134635 3.4047377 1.9841076 1.1109003 5.9760425 3.0887391 1.5338328 7.3182075 3.3547555 1.4775656 6.2526530 2.5422205 9.9309967 3.7274011 1.3441613 4.6572768 1.5504139 4.9590409 1.5240036 4.4999805 1.2766615 3.4800143 9.1143482 2.2935817 5.5455442 1.2883097 2.8756873 6.1674662 1.2709271 2.5164109 4.7872358 8.7506370 1.5368828 2.5935047 4.2051071 6.5509282 9.8055567 1.4101849 1.9485392	9.8019867 9.2311630 8.3526993 7.2614827 6.0652909 4.8674970 3.7530768 2.7803323 1.9789442 1.3533131 8.8918263 5.6132221 3.4045735 1.9840091 1.1108503 5.9758529 3.0887170 1.5338806 7.3188320 3.3552786 1.4779235 6.2547845 2.5433497 9.9363431 3.7296551 1.3449844 4.6597006 1.5508344 4.9579864 1.5224336 4.4895756 1.2712722 3.4557770 9.0159480 2.2568303 5.4178759 1.2467912 2.7487145 5.8011950 1.1710647 2.2586831 4.1569938 7.2895571 1.2156665 1.9237984 2.8812736 4.0709053 5.4053022 6.71(-21) 7.75(-22)	9.80198673 9.23116344 8.35270199 7.26149030 6.06530660 4.86752228 3.75311111 2.78037290 1.97898674 1.35335283 8.89216081 5.61347500 3.40474421 1.98410974 1.11089965 5.97602198 3.08871441 1.53380989 7.31802551 3.35462628 1.47748183 6.25214775 2.54193577 9.92949522 3.72665317 1.34381028 4.65571332 1.54975396 4.95639984 1.52299797 4.49634149 1.27540685 3.47589347 9.10145896 2.28973485 5.53459867 1.28533632 2.86797709 6.14838727 1.26641655 2.50622581 4.76528183 8.70539806 1.52797740 2.57675711 4.17501738 6.49931301 9.72094942 1.39694133 1.92874985	00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 -01 -01 -01 -01 -01 -02 -02 -02 -03 -03 -03 -04 -04 -05 -05 -05 -06 -06 -07 -07 -08 -08 -09 -10 -10 -11 -11 -12 -13 -13 -14 -15 -16 -16 -17 -18 -19 -20 -20 -21

. . しかし、３点法は安定であり、５点法は不安定であると結論付けるのは正しくない。何故なら、３点法はt=7の近傍において正確な初期値を与えて出発しても、より精度のよい解を得ることは出来ないからであり、この場合には、後で定理2.1に述べるようにtに依存するもっと厳しい解の存在条件があるからである。それはy(t₀+h)>y(t₀)/2が満たされなければならないという条件である。
. . Table 2.3はh=0.1 間隔の真の解と、t₀が6.9より大きいところでは上記の条件が満たされないことを示す。定理2.1は区分幅hで満たされれば十分であることを示すものではなく、理想的には１ステップ区間で満たされることが望ましい。区分幅h=0.1のとき、５点法の１ステップ区間は4h=0.4であり、その間の解はt=6.0の近傍では出発値の1/10以下になるため解の精度は有効桁１桁程度であり不安定現象といわれる状態になっていく。３点法の１ステップ区間は2h=0.2であるから、その間の解は出発値の1/4以上あるため解の精度は有効桁３桁程ある。５点法で１ステップの解が出発値の1/4程度なのはt=3.2の近傍であり、解の精度は有効桁４桁である。いわゆる高次解法の不安定現象は著者の解法では単なる区分幅選定の不適当によるものであり、高次解法が不安定なのではない。３点法でも１ステップ区間が0.3、即ち、h=0.15であるとt=8の近傍で不安定現象といわれる状態が見られる。Runge-K法でも同様であり、微分方程式の解によるが固定区分幅解法である限りこの現象は生ずる。

［定理 2.1］. . 微分方程式y' =f(y,t)の数式解が分かっているなら数値解の存在条件は次のようになる。

. . 微分方程式及び数値解法の次数により、区分幅がこの条件を満たすだけでは十分でない場合もある。十分な精度を得るためには理想的には１ステップ幅がこの条件を満たすことが望ましい。
. . 微分方程式　y' =−ty 及び t>t₀の場合、y(t)<y(t₀)であるから(2.2)は次のようになる。

2.3　可変刻み３分点法
. . 硬い微分方程式(1.16)は全範囲にわたって100h<1なる条件を必要とする。しかし、微分係数dt/dyが無視し得ない範囲にまで正確な解を得るためにはその条件は十分ではない。t=0の近傍ではその条件は(1.17)で表されるべきであり、正確な解を得ることは非常に厳しい。硬い微分方程式(1.18)もまた厳しい条件h<0.000998を必要とし、t=0 の近傍では、他の範囲における解と同じ程度の精度の解が要求されるとき更に厳しいものとなる。しかし、その条件は t と y' の関係が明示されていないので得られない。
. . 著者の解法は区分幅の条件を計算することなく可変ピッチ法を用いて正確な解を得ることが出来る。その解法は極めて簡単である。何故なら、(1.2)の３回繰り返される手順[3]は適当な条件を検出することの出来るデータを与えるからである。これらを r₁, r₂ 及び r₃で表すと、 r₁ と r₂の差はNewtonの補間公式のおよその剰余項であり、r₁ と r₃の差は手順[3]により１回修正された剰余項である。解が４次より低次の多項式であるか区分幅hに依存して無視し得る剰余項を持つ場合を除いて手順[3]をこれ以上繰り返すのは演算子法の理論上意味がない。故に、r₂ と r₃の差は最初に近似された剰余項の誤差であるといえる。もしこれが無視できないなら区分幅hは適当ではない。従って、適当な区分幅は次に示す手順により見積もられる。

(1). .|r₂−r₃| が無視できないならステップ幅hを半分にする。
(2). .|r₂−r₃| が無視できるなら収束である。そして
(3). .|r₁−r₃| が無視できて、偶数番目のステップなら次の２ステップを１ステップに結合する、
. . .従って、ステップ幅は直前の２倍になる。

. . 上記の手順(3)で偶数番目のステップのとき、次の２ステップを結合する理由は二つある。その一つは２分割される前のステップ幅を正確に復元するためである。もう一つはある一区間で分割と結合を２安定的に繰り返すのを防ぐためである。
. . ｎ階の微分方程式の場合には、r₁, r₂ 及び r₃は３回繰り返されるy⁽ⁿ⁻¹⁾の値である。その他のy⁽ⁿ⁻²⁾ から y 迄の値は y⁽ⁿ⁻¹⁾に関する１階の微分方程式の右辺の関数を計算するパラメータである。従って、これらは２回修正される。
. . Program 2.2 はBASICによる可変ピッチ解法を示す。38行は上記手順の(1)と(2)であり、42行は手順(3)である。28行は、(1.2)の手順[2]において |y₂|<1 の場合に、r₁, r₂ 及び r₃の差の計算で指数部のアンダーフローを避けるためにこれらを 2²⁴倍する。20行の"WHILE 2"は無限繰返しであり、この繰返しは40行の"ELSE"で終わる。
. . 56行と58行は(1.16)の微分方程式を解くための副プログラムであり、Table 2.4 は解の一部を示す。基本ステップ間隔は等間隔であり、全積分範囲[0,50]を500に区分することを指定しているから2h=0.1 より大きくはならない。これら等間隔点における解のみを必要とするなら54行の先頭に"IF EB<EE THEN RETURN ELSE "を付ければよい。

2.4 可変刻み３分点法の数値解

Table 2.4 Solution of y' =100(sin t −y), y(0)=0 by the variable pitch method.
IB	EB	EE	t (10n)	y	Accurate y	10n
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2	1 2 3 14 8 24 13 32 17 15 16 1 2 5 10 6 16	512 512 512 512 256 256 128 128 64 16 16 16 16 32 32 16 16	1.95312(-4) 3.90625(-4) 5.85937(-4) 2.73438(-3) 0.003125 0.009375 0.0101563 0.025 0.0265625 0.09375 0.1 0.10625 0.1125 0.115625 0.13125 0.1375 0.2	1.8949914 7.5310159 1.6835715 3.4197359 4.4115592 3.2910295 3.7779736 1.5819790 1.7263290 8.3649129 8.9874841 9.6097231 1.0231596 1.0542386 1.2094744 1.2714882 1.8884976	1.89499145 7.53101618 1.68357167 3.41973592 4.41155928 3.29102951 3.77797369 1.58197891 1.72632887 8.36491276 8.98748430 9.60972308 1.02315963 1.05423863 1.20947437 1.27148822 1.88849783	-6 -6 -5 -4 -4 -3 -3 -2 -2 -2 -2 -2 -1 -1 -1 -1 -1

. . Program 2.2 の58行はこの微分方程式をステップ間隔2h=0.1で解くことを要求しているが、このステップ間隔は(1.17)の条件を満たしていないので解は収束しない。１ステップ間隔が512に分割されたとき、点t=0.1/512において最初の解が収束する。14番目のステップの後ステップ間隔は結合されて 0.1/256 になる。14番目のステップは256分割では7番目のステップになる。24ステップの後、ステップ幅は結合されて 0.1/128 になる。24ステップは128分割では12ステップになる。このようにして基本分割の最初の分割点である t=0.1 の近傍ではステップ間隔は16分割となる。その後、ステップ間隔は16又は32分割で進行する。何故なら、そのステップ間隔は条件 h<0.01 を十分に満たしているが、8分割では単精度の解を得るのに十分でないからである。
. . 微分方程式(2.4)も硬い微分方程式であり条件 h<0.000998を必要とする。しかし、t=0 の近傍で単精度の正確な解を得るためにはこの条件は十分ではなく、十分な条件は得られない。Program 2.2 はその条件を使用せずに、区間幅 0.1 による解を要求する次の副プログラムを使用して正確な解を得ることができる。Table 2.5 と 2.6 はその結果を示す。

2.5　可変刻み５分点法
. . 著者の５分点解法は(2.1)に示されており、手順[5]のy₄は３回修正される。これらの値をr₁, r₂, r₃で表せば、解の収束及び適当な区分幅ｈは可変刻み３分点法と同様な方法で決定される。

. . 従って、可変刻み幅のプログラムは Program 2.2 にある繰り返し文を Program 2.1 に付け加えることにより構成される。そのプログラムは Program 2.3 に示されている。収束の条件は繰り返された値の差が零から最小位２bit迄の違いであることであり、二つのステップ区間を結合する条件はその差が零から最小位bitの違いであることである。これらの条件は多くの試行の結果決定された。
. . 66行と68行は与えられた微分方程式を解くための副プログラムである。基本ステップ幅は等間隔であり、全範囲[0, 13]を130に分割することが要求されているから、基本ステップ幅は 4h=0.1 より大きくはならない。これらの等間隔点における解のみが必要なら64行の先頭に"IF EB<EE THEN RETURN ELSE "を付け加えればよい。

2.6　可変刻み５分点法の数値解
. . 上記の副プログラムで与えられた微分方程式の解は Table 2.8 に示されている。同表には精度の比較のために３分点法の解も載せられている。解の値には違いはないけれども与えられた区分幅の細分割数が少ない点で５分点法が優れている。５分点法はステップ幅 4h であるが、３分点法はステップ幅 2h である。従って、ステップ幅が３分点法の２倍であれば両解法は同じｈの値となる。しかし、同表は５分点法のステップ幅は t=3.0 より大きなｔの辺りでは３分点法のステップ幅の４倍になることを示している。これは５分点法が３分点法より精度が良いことを示してる。

. . Table 2.10 は次の副プログラムに示される硬い微分方程式の解を示す。この場合にも、５分点法は t=0 の辺りでは３分点法の８倍のステップ幅である。これも又、硬い微分方程式をより大きな区分幅hで解きたいなら高次解法で解かねばならないことを示す。
. . これらの例は数値解法は常に固定区分幅の固定次数解法を使用したいという考えは正しくないことを示す。それは可変区分幅の可変次数多項式を用いる方法であるべきである。著者の演算子法はそのような解法を導くことができ、それは後で示す。